每个方法都有一幅图、一句关键等式和常见误区。
从面积比到圆切线；答案可输入自测，含两级提示。
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先自己观察图形 30 秒，再读每课中的「关键一步」。学习内容是对公开题库高频方法的归纳，以下练习为重新编写的自包含题，不是题库原题转载。
在等腰三角形中，D 在底边 BC 上移动。向 AB、AC 作垂线 DE、DF。把整个三角形分成 △ABD 和 △ACD，两块面积相加不会变。
同理，两块三角形共用从 A 到 BC 的高，所以 DE:DF = BD:DC。和一定、积最大的问题，则从两数相等切入。
易错：DE 是 D 到 AB 的距离，不是点 D 在 BC 上走过的长度。
正方形 ABCD 中，E 在 AB 上，F 在 BC 上，AE=BF=x（0<x≤边长 s）。令 A(0,0)、B(s,0)、D(0,s)，那么 E(x,0)、F(s,x)。
两条线交于 P，∠APD=90°；于是 P 在以 AD 为直径的圆上。这也可以用 90° 旋转辅助线作纯几何证明。若要最值，先把 △APD 的面积写成 ½·AD·P 到 AD 的距离。
易错：交点 P 在移动，但圆是固定的；不能把“轨迹在圆上”误解为“整圆都能取到”。
AB 是圆的直径，C 在圆上。分别过 A、B、C 作切线，C 点切线交另外两条切线于 P、Q。因为直径所对的圆周角为直角，△ABC 是直角三角形。
圆心到切线垂直。结合相似或半角关系，可得 PA = AB·AC/(2BC)，QB = AB·BC/(2AC)，进而 PA·QB=AB²/4。
易错：切线长相等指的是“同一个圆外点”引出的两段，不能写成 PA=QB。
把纸片折到两点重合时，折痕上的任意点到这两点距离相等，所以折痕是连接这两点的垂直平分线。已知两点坐标时，先找中点，再求垂线与边的交点。
只有当线段 C′D 与允许的线段确实相交，等号才能取到；如果交点落在线段外，要另外比较两个端点。
易错：求出整条直线的最短路后，忘记验证交点是否落在线段内。
建议先在纸上画图、写过程，再输入最终结果自测。分数可填“分子/分母”，例如 120/13。证明题先写完整推理，再用下方「核对要点」自检。
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